Category: образование

(no subject)

У Даниила Андреева есть один пассаж (он ещё и повторяется у него в разных модификациях), который при частичном переводе на светский язык звучит примерно так:

500 последних лет мировым лидером был Запад, потом им станет Россия, потом — Индия.

При этом он говорил, что окончательной предрешённости тут нет, а только намечена тенденция.

В пятидесятые годы почувствовать будущий подъём России можно было, например, по спутнику. Потом его можно было почувствовать во время перестройки (я это ощутил тогда и высказывал с разговорах с друзьями — я им говорил, что именно в России можно будет построить настоящий Дом). Сейчас третий, зримый во многих отношениях момент. При этом надо сказать, что сейчас имеется масса доказательных событий и процессов в эту сторону, но не хватает «романтической» инспирации.

Это происходит по двум причинам.

Во-первых, русские сейчас не вырастили из своей среды мыслителей мирового калибра, их и вообще сейчас никто не вырастил, не только русские. Дело осложняется тем, что требования объективно возросли. Сейчас для нужного уровня недостаточно иметь людей типа Успенского, Даниила Андреева, Поршнева, Николая Гартмана, Станислава Лема или Айзека Азимова.

Collapse )

(no subject)

Для топологических многообразий ориентацию нельзя определить через якобианы, потому что якобианов в них в общем случае нет. Но в учебнике Дольда ориентация определена через гомологии. Для гладких многообразий «гомологическая» ориентация совпадает с «якобианной». Раньше доказательство этого совпадения вряд ли можно было найти в учебниках, оно имелось только на математических форумах. Но сейчас оно помещено и в учебник — в «Дифференциальную топологию» Мукерджи.

Но промежуточный шаг уже раньше имелся у Годбийона: в его книжке ориентация была определена для не обязательно гладких векторных расслоений — через нигде не исчезающую непрерывную внешнюю n-форму.

(no subject)

Долгое время не существовало учебника дифференциальной топологии, который подходил бы людям, изучающим математику, но не могущим стать профессиональными математиками. Книги Хирша, Гийёмина и Поллака, Бредона, Косинского не подходят из-за большого количества пробелов, восполнить которые можно либо обладая большими математическими способностями, либо имея хорошего инструктора. А в книге Манкрса совсем мало материала. Из книг Постникова можно извлечь необходимое, но соответствующий материал переплетён с другим (большим по объёму) материалом.
Но сейчас имеется книга Мукерджи, которая восполняет пробелы. Достигнуто это в ней в немалой мере из-за того, что понятия ставятся в слегка более общую рамку, благодаря чему называются их настоящими именами. Это повышение уровня абстракции не вредит пониманию, а наоборот, ему способствует — по той причине, что оно несильное. Кроме того, разбор примеров весьма аккуратен — он значительно лучше, чем, например, в книге Уэллса «Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях».
И в целом индийские авторы математических учебников отличаются повышенной аккуратностью и, следовательно, учётом интересов вышеуказанной аудитории.

(no subject)

У общего вопроса «о чём пытается сказать физика» есть существенная сторона — это математические структуры, лежащие в основе физических повествований. Эти математические структуры часто попадают в соответствующие учебники, написанные математиками, но нечасто такие учебники бывают подробными. Один из подробных учебников такого рода — «Дифференциальная геометрия и аналитическая механика» Годбийона. Эта тонкая книжечка есть, во-первых, педагогический шедевр и, во-вторых, работа научной совести: в ней описан небольшой, но значимый кусок классической механики, поддающийся аксиоматизации. После книги Годбийона можно читать книгу Либерман и Марля. Вместе эти две книги охватывают довольно солидную часть фундамента классической механики.

Collapse )

(no subject)

Из книг Хёрмандера и Дьедонне видно, что Хёрмандер был настоящим аналитиком, а Дьедонне не был: там, где Дьедонне петлистым путём находит нужные оценки, постоянно проверяя их по ходу дела, Хёрмандер находит оценки интуитивно, чутьём аналитика, так что оценки Хёрмандера спрямлённее и проще. По-другому это можно выразить так: сначала Хёрмандер видит итоговую оценку, а потом подыскивает к ней нужные предельные процессы, а Дьедонне выписывает промежуточные оценки вместе с соответствующими пределами, то есть не чувствует интуитивно итоговую оценку и не до конца верит, что нужные пределы сравнительно легко отыщутся; Хёрмандер же легко манипулирует пределами, включая те виды пределов, которые не зарегистрированы в учебниках, но наработаны им лично как надстройка к учебниковым пределам.

Я тут, разумеется, заострил, потому что и у Дьедонне были те же навыки ремесла аналитика, которые имелись у Хёрмандера, только у Хёрмандера они были развиты очевидно сильнее.

Это различие можно поместить на шкалу традиционного различения между мягким и жёстким анализом: Дьедонне был ближе к мягкому полюсу, а Хёрмандер практически находился на жёстком полюсе.

Collapse )

(no subject)

Для физического учебника не совсем обычно ссылаться на математические факты, не содержащиеся в математических или физических учебниках. Но именно это делает «Современная электродинамика» Зангвилла. В ней есть формулы для дельта-функции, которые выведены в статьях, опубликованных в физических журналах.

Эти формулы полезны, но математики вроде бы их не вывели (гарантии тут дать не могу, потому что статей публикуется огромное количество, и что-то имеющее некоторую ценность вполне может выпасть на какое-то время из-под взора сообщества).

(no subject)

Классическая механика у Грайнера изложена традиционно нелогично: про уравнение, связывающее силу и импульс, у него сказано, что это есть одновременно определение силы и второй закон. Очевидно, что определение не может быть законом.

В других учебниках механики, как правило, наблюдается такой же абсурд. Сивухин попытался избежать этого абсурда, сказав, что это определение силы, но потом всё равно пользуется этим уравнением как законом, вводя силы, определённые не через производную импульса.

Так что все авторы вузовских учебников (может быть, почти все, так как про всех я не знаю) игнорируют аксиоматику Нолла для механики (эта аксиоматика вводит силы отдельным определением, а уже для этих дефинированных сил постулирует второй закон). Трусделл использовал аксиоматику Нолла, но его книга не является вузовским учебником. Правда, уже Эйлер не боялся постулировать силы как отдельную сущность, а потом постулировать для них второй закон.

Авторы же современных вузовских учебников боятся сил, боятся по двум причинам.

Во-первых, силы менее понятны, чем скорости и ускорения. Они даже несколько менее понятны, чем массы.

Collapse )

(no subject)

Выскажу гипотезу, обосновать которую в полной мере трудно, но в пользу которой можно привести некоторые соображения.

В конце девяностых годов и в двухтысячные годы в России родилось иное по сравнению с предыдущими временами поколение. Инаковость его состоит в том, что среди самых способных школьников довольно мало евреев по сравнению с предыдущими временами. Это не гипотеза, а факт. Он наблюдается среди юных шахматистов и среди победителей образовательных олимпиад.

Частично этот факт объясняется тем, что евреев в России сейчас значительно меньше, чем было когда-либо в последние несколько столетий. Вторая, порождённая во многом первой, причина состоит в уменьшении количества в России ведущих учёных и шахматистов евреев, которые могли бы в ускоренном режиме натаскивать способных школьников-евреев.

Collapse )

(no subject)

Насколько хватает моего охвата, самое слабое место французских учебников классической геометрии — это тема выпуклости плоских фигур. В этой теме больше всего недоказанного материала. Каждый при желании может сам доказать всё недоказанное (хоть это и займёт какое-то время), но тут у авторов имеется явная неравномерность доли доказанного по темам.

Я бы даже усилил утверждение: пока мне не удалось обнаружить какую-либо другую тему, в которой у французов имелся бы сколь-либо заметный недоказанный материал. Разве что тема геометрических углов не доведена у них до полного учебного «парадиза».

Можно провести параллель. Французские учебники справились с темой углов, которая до шестидесятых годов была неподъёмной для авторов учебников. (А, например, Постников в своих многочисленных учебниках с темой углов не справился. Не справились с ней и Маклейн с Биркгофом. А в недавнее время не справился и Городенцев, как я уже писал раньше.) Теперь французам предстоит справиться в учебниках с темой выпуклых плоских фигур. С этой темой в большей мере справился Moise (в книге «Элементарная геометрия с продвинутой точки зрения»), но у него другая аксиоматика.

Collapse )

(no subject)

Большинство математиков во время своей учёбы заменяло часть доказательств изоморфизма конструкций, включающих произведения нескольких «пространств» (множеств со структурами), на махание руками.

В учебниках имеются такие задачи, но в основном тексте учебников соответствующие доказательства встречаются очень редко. Это и показывает, что даже самые педантичные математики (а авторы учебников как раз таковы) не умеют давать таких доказательств, а отделываются вместо этого рукомашеством.

В этой связи можно обратить внимание на уникальный трёхтомный решебник ко второму изданию «Алгебры» Маклейна и Биркгофа, изданный на французском языке. Большинство задач осталось в неизменном виде и в третьем издании «Алгебры» Маклейна и Биркгофа, так что и к нему этот решебник подходит. Решебник этот составлен в 1972, 1973 и 1976 годах «ассистентами» французских университетов.

Он огромен, превышает по объёму саму «Алгебру» Маклейна и Биркгофа и помимо указанных выше конструкций изоморфизмов содержит огромную массу поучительного.

Collapse )