Category: образование

Category was added automatically. Read all entries about "образование".

(no subject)

Учебники пустынных областей математики сильно отличаются от учебников непустынных областей среди прочего вот в каком важном отношении: в пустынной области очень редко возможно включить в учебник нетривиальные примеры, так как эти примеры весьма трудны для студентов и значительно превосходят общий уровень учебника, да и по объёму нередко весьма велики (если их излагать таким же образом, как остальной материал учебника). Поэтому, в частности, для пустынных областей невозможно написать учебники, идущие от примеров к общему.

Среди непустынных сравнительно современных оплотов можно выделить дифференциальную геометрию и теорию групп и алгебр Ли. По дифференциальной геометрии имеется учебник, идущий от примеров, а именно, учебник Фецко (учебник отличный, но содержит некоторые ошибки). А по теории групп и алгебр Ли имеются учебники Кнаппа, которые все идут от примеров.

Конечно, современность этих двух областей весьма относительна: многие основы их были завершены к концу второй мировой войны. Они, конечно, и сейчас активно развиваются. Но они больше используют новые достижения пустынных областей, чем пустынные области используют их новые достижения. Разумеется, этот дисбаланс не такой вопиющий, как в случае классической геометрии.

(no subject)

Для топологических многообразий ориентацию нельзя определить через якобианы, потому что якобианов в них в общем случае нет. Но в учебнике Дольда ориентация определена через гомологии. Для гладких многообразий «гомологическая» ориентация совпадает с «якобианной». Раньше доказательство этого совпадения вряд ли можно было найти в учебниках, оно имелось только на математических форумах. Но сейчас оно помещено и в учебник — в «Дифференциальную топологию» Мукерджи.

Но промежуточный шаг уже раньше имелся у Годбийона: в его книжке ориентация была определена для не обязательно гладких векторных расслоений — через нигде не исчезающую непрерывную внешнюю n-форму.

(no subject)

Долгое время не существовало учебника дифференциальной топологии, который подходил бы людям, изучающим математику, но не могущим стать профессиональными математиками. Книги Хирша, Гийёмина и Поллака, Бредона, Косинского не подходят из-за большого количества пробелов, восполнить которые можно либо обладая большими математическими способностями, либо имея хорошего инструктора. А в книге Манкрса совсем мало материала. Из книг Постникова можно извлечь необходимое, но соответствующий материал переплетён с другим (большим по объёму) материалом.
Но сейчас имеется книга Мукерджи, которая восполняет пробелы. Достигнуто это в ней в немалой мере из-за того, что понятия ставятся в слегка более общую рамку, благодаря чему называются их настоящими именами. Это повышение уровня абстракции не вредит пониманию, а наоборот, ему способствует — по той причине, что оно несильное. Кроме того, разбор примеров весьма аккуратен — он значительно лучше, чем, например, в книге Уэллса «Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях».
И в целом индийские авторы математических учебников отличаются повышенной аккуратностью и, следовательно, учётом интересов вышеуказанной аудитории.

(no subject)

У общего вопроса «о чём пытается сказать физика» есть существенная сторона — это математические структуры, лежащие в основе физических повествований. Эти математические структуры часто попадают в соответствующие учебники, написанные математиками, но нечасто такие учебники бывают подробными. Один из подробных учебников такого рода — «Дифференциальная геометрия и аналитическая механика» Годбийона. Эта тонкая книжечка есть, во-первых, педагогический шедевр и, во-вторых, работа научной совести: в ней описан небольшой, но значимый кусок классической механики, поддающийся аксиоматизации. После книги Годбийона можно читать книгу Либерман и Марля. Вместе эти две книги охватывают довольно солидную часть фундамента классической механики.

Collapse )

(no subject)

Из книг Хёрмандера и Дьедонне видно, что Хёрмандер был настоящим аналитиком, а Дьедонне не был: там, где Дьедонне петлистым путём находит нужные оценки, постоянно проверяя их по ходу дела, Хёрмандер находит оценки интуитивно, чутьём аналитика, так что оценки Хёрмандера спрямлённее и проще. По-другому это можно выразить так: сначала Хёрмандер видит итоговую оценку, а потом подыскивает к ней нужные предельные процессы, а Дьедонне выписывает промежуточные оценки вместе с соответствующими пределами, то есть не чувствует интуитивно итоговую оценку и не до конца верит, что нужные пределы сравнительно легко отыщутся; Хёрмандер же легко манипулирует пределами, включая те виды пределов, которые не зарегистрированы в учебниках, но наработаны им лично как надстройка к учебниковым пределам.

Я тут, разумеется, заострил, потому что и у Дьедонне были те же навыки ремесла аналитика, которые имелись у Хёрмандера, только у Хёрмандера они были развиты очевидно сильнее.

Это различие можно поместить на шкалу традиционного различения между мягким и жёстким анализом: Дьедонне был ближе к мягкому полюсу, а Хёрмандер практически находился на жёстком полюсе.

Collapse )

(no subject)

Для физического учебника не совсем обычно ссылаться на математические факты, не содержащиеся в математических или физических учебниках. Но именно это делает «Современная электродинамика» Зангвилла. В ней есть формулы для дельта-функции, которые выведены в статьях, опубликованных в физических журналах.

Эти формулы полезны, но математики вроде бы их не вывели (гарантии тут дать не могу, потому что статей публикуется огромное количество, и что-то имеющее некоторую ценность вполне может выпасть на какое-то время из-под взора сообщества).

(no subject)

То, что я здесь напишу, следует рассматривать как предположение, потому что в этих вопросах я пока недостаточно разобрался. А математики, насколько я могу судить, пока не сделали внятного разбора этого вопроса.

Классические учебники по вариационному исчислению не годятся для большинства задач механики. Они рассматривают такие пространства путей, которые проходят по аффинным пространствам, поэтому касательные пространства к многообразию путей в разных точках (то есть в разных путях) естественным образом отождествляются. И «по счастью» не требуется доказывать, что касательным пространством к пути является пространство всех достаточно гладких функций с нулевыми концами. И хотя пространство путей всё равно образует бесконечномерное многообразие, задачи легко удаётся в некотором роде свести к дифференцированию вещественных функций вещественной переменной.

А в механике обычно больше одной степени свободы, и конфигурационные пространства являются гладкими многообразиями общего вида, так что надо доказывать, что касательное пространство к пространству путей состоит из всех путей, проходящих по касательному расслоению к конфигурационному пространству с привязкой к исходному пути в каждой его точке и обнуляющихся на концах.

Нужное доказательство имеется в книге Клингенберга «Лекции о замкнутых геодезических».

Collapse )

(no subject)

В 18-ом веке математики храбро брались за вариационные проблемы механики и как бы научились их решать. Их придумки были поистине гениальны, потому что подлинная жизнь этих конструкций открылась математикам только в 20-ом веке. Назову лишь известные многим термины «принцип виртуальных перемещений», «неопределённые множители Лагранжа». У математиков 18-го века вариационные конструкции были эвристическими, вполне родственными последующим эвристическим конструкциям, которые потом постоянно будут появляться в физике.

Но при этом и в 20-ом веке некоторые математики делали вид, что конструкции 18-го века уже покоятся на прочной математической основе почти в том самом виде, как были изначально придуманы. Например, так поступает Гантмахер в своих «Лекциях по аналитической механике». Арнольд тоже ведёт себя как такого рода «классик».
Но честные математики вынуждены делать ссылки на соответствующие специализированные труды. Например, Абрахам и Марсден в своей восьмисотстраничной книге «Основания механики», написанной на высоком математическом уровне, лишь набросали основные идеи вариационных принципов в механике, а за настоящими доказательствами отослали читателей к книгам и статьям, трактующим бесконечномерные многообразия.    Такие же отсылки делают и Марсден с Ратиу в более новой книге. А Ли, Леок и Маккламрох в книге «Глобальные формулировки лагранжевой и гамильтоновой динамики на многообразиях» несколько раз используют такие обороты, как «можно показать».

Collapse )

(no subject)

Классическая механика у Грайнера изложена традиционно нелогично: про уравнение, связывающее силу и импульс, у него сказано, что это есть одновременно определение силы и второй закон. Очевидно, что определение не может быть законом.

В других учебниках механики, как правило, наблюдается такой же абсурд. Сивухин попытался избежать этого абсурда, сказав, что это определение силы, но потом всё равно пользуется этим уравнением как законом, вводя силы, определённые не через производную импульса.

Так что все авторы вузовских учебников (может быть, почти все, так как про всех я не знаю) игнорируют аксиоматику Нолла для механики (эта аксиоматика вводит силы отдельным определением, а уже для этих дефинированных сил постулирует второй закон). Трусделл использовал аксиоматику Нолла, но его книга не является вузовским учебником. Правда, уже Эйлер не боялся постулировать силы как отдельную сущность, а потом постулировать для них второй закон.

Авторы же современных вузовских учебников боятся сил, боятся по двум причинам.

Во-первых, силы менее понятны, чем скорости и ускорения. Они даже несколько менее понятны, чем массы.

Collapse )

(no subject)

Выскажу гипотезу, обосновать которую в полной мере трудно, но в пользу которой можно привести некоторые соображения.

В конце девяностых годов и в двухтысячные годы в России родилось иное по сравнению с предыдущими временами поколение. Инаковость его состоит в том, что среди самых способных школьников довольно мало евреев по сравнению с предыдущими временами. Это не гипотеза, а факт. Он наблюдается среди юных шахматистов и среди победителей образовательных олимпиад.

Частично этот факт объясняется тем, что евреев в России сейчас значительно меньше, чем было когда-либо в последние несколько столетий. Вторая, порождённая во многом первой, причина состоит в уменьшении количества в России ведущих учёных и шахматистов евреев, которые могли бы в ускоренном режиме натаскивать способных школьников-евреев.

Collapse )